В равнобокой трапеции FKPE FK = EP = 9 см, FE = 20 см, КР = 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла F трапеции.

Решение:

Трапеция FKPE — равнобокая, значит, боковые стороны равны: FK = EP = 9 см. Основания: FE = 20 см (большее), KP = 8 см (меньшее).

Опустим высоты из вершин K и P на основание FE. Пусть точки пересечения будут H и G соответственно. Тогда KH ⊥ FE, PG ⊥ FE.

Образуются прямоугольники KHGP и два равных прямоугольных треугольника FKH и EPG.

Из свойств равнобокой трапеции:

\[ FH = GE = \frac{FE - KP}{2} = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник FKH. Гипотенуза FK = 9 см, катет FH = 6 см.

Найдем высоту KH по теореме Пифагора:

\[ KH^2 = FK^2 - FH^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45 \]

\[ KH = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см} \]

Теперь найдем тригонометрические функции угла F:

• \( \sin F = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{KH}{FK} = \frac{3\sqrt{5}}{9} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)
• \( \cos F = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{FH}{FK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
• \( \operatorname{tg} F = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{KH}{FH} = \frac{3\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
• \( \operatorname{ctg} F = \frac{1}{\operatorname{tg} F} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Ответ:

\( \sin F = \frac{\sqrt{5}}{3} \), \( \cos F = \frac{2}{3} \), \( \operatorname{tg} F = \frac{\sqrt{5}}{2} \), \( \operatorname{ctg} F = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)