4. В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы СМ и АМ пересекаются в точке Р. Найдите ∠MPN.

Ответ: 60

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.
2. Биссектрисы делят углы пополам, поэтому углы MAC и MCA равны 30 градусам: \[\angle MAC = \angle MCA = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\]
3. Рассмотрим треугольник AMC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам: \[\angle AMC = 180^\circ - \angle MAC - \angle MCA = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\]
4. Угол APM равен углу CPM, так как AM и CM – биссектрисы.
5. Рассмотрим треугольник AMP: \[\angle AMP = 180^\circ - \angle MAP - \angle APM = 180^\circ - 30^\circ - \angle APM\] Также рассмотрим треугольник CMP: \[\angle CMP = 180^\circ - \angle MCP - \angle CPM = 180^\circ - 30^\circ - \angle CPM\]
6. Так как углы APM и CPM равны, а также углы MAP и MCP равны, то треугольники AMP и CMP конгруэнтны.
7. Сумма углов MPN и AMC равна 180 градусам, так как они смежные. \[\angle MPN + \angle AMC = 180^\circ\] Следовательно: \[\angle MPN = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]

Ответ: 60