6. В равностороннем треугольнике АВС точка М – пересечение высот. Докажите, что треугольник AMC – равнобедренный. Найдите длину биссектрисы 4 АМС, если МС=5.

В равностороннем треугольнике ABC точка M - пересечение высот. Доказать, что треугольник AMC - равнобедренный. Найти длину биссектрисы ∠АМС, если МС = 5.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Высоты являются также медианами и биссектрисами.

AM и CM - высоты треугольника, проведенные из вершин A и C соответственно. Значит, углы CAM и ACM равны 30° (половина угла равностороннего треугольника).

В треугольнике AMC углы CAM и ACM равны, значит, треугольник AMC - равнобедренный (AM = CM).

Угол AMC = 180° - ∠CAM - ∠ACM = 180° - 30° - 30° = 120°.

Обозначим биссектрису за MD. Биссектриса MD делит угол AMC пополам, значит, угол AMD = AMC/2 = 120°/2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике MDC (MD - биссектриса, также является высотой) катет MC = 5. Угол MDC = 90°, угол MCD = 30°.

Катет MD лежит против угла MCD = 30°, значит, MD = (1/2) * MC = (1/2) * 5 = 2.5.

Ответ: MD = 2.5.