3.3.16. В равностороннем треугольнике АВС высота СН равна 5√3. Найдите сторову этого треугольника.

Пусть в равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 5\(\sqrt{3}\). Найдем сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, также является медианой и биссектрисой.

Высота CH делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника, например, AHC. В этом треугольнике угол A равен 60° (так как все углы в равностороннем треугольнике равны 60°), CH - катет, а AC - гипотенуза.

Отношение высоты CH к стороне AC выражается через синус угла A:

\[\sin A = \frac{CH}{AC}\]

Отсюда можно выразить AC:

\[AC = \frac{CH}{\sin A}\]

Известно, что \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляем значения:

\[AC = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 2 = 10\]

Таким образом, сторона треугольника равна 10.