3.3.14. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СH — высота, угол А разен 30°, АВ-80. Найдите BH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с углом C = 90°.

CH - высота, опущенная на гипотенузу AB, и AB = 80, угол A = 30°.

Нужно найти длину отрезка BH.

В треугольнике ABC:

Угол B = 90° - A = 90° - 30° = 60°.

В треугольнике ACH: угол ACH = 90° - A = 90° - 30° = 60°.

В треугольнике BCH: угол BCH = 90° - B = 90° - 60° = 30°.

Рассмотрим треугольник ABC:

Катет AC = AB \( \cdot \) cos(A) = 80 \( \cdot \) cos(30°) = 80 \( \cdot \) (\(\sqrt{3}\)/2) = 40\(\sqrt{3}\).

Катет BC = AB \( \cdot \) sin(A) = 80 \( \cdot \) sin(30°) = 80 \( \cdot \) (1/2) = 40.

Теперь рассмотрим треугольник BCH:

BH = BC \( \cdot \) cos(B) = 40 \( \cdot \) cos(60°) = 40 \( \cdot \) (1/2) = 20.

Так как BH + AH = AB, то AH = AB - BH = 80 - 20 = 60.