3.3.13. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ-90√3. Найдите высоту СН.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90°, углом A = 30° и гипотенузой AB = 90\(\sqrt{3}\) нужно найти высоту CH, опущенную на гипотенузу.

Сначала найдем катет BC, лежащий против угла A. Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

\[BC = \frac{AB}{2} = \frac{90\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3}\]

Затем найдем катет AC по теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(90\sqrt{3})^2 - (45\sqrt{3})^2} = \sqrt{24300 - 6075} = \sqrt{18225} = 135\]

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: через катеты и через высоту, опущенную на гипотенузу:

Площадь через катеты:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 135 \cdot 45\sqrt{3} = \frac{6075\sqrt{3}}{2}\]

Площадь через гипотенузу и высоту:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

Приравниваем оба выражения для площади и находим CH:

\[\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{6075\sqrt{3}}{2}\] \[CH = \frac{6075\sqrt{3}}{AB} = \frac{6075\sqrt{3}}{90\sqrt{3}} = \frac{6075}{90} = \frac{135}{2} = 67.5\]