4.*В ромбе ABCD AK – биссектриса угла CAB, ∠BAD = 60° ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

В ромбе ABCD AK – биссектриса угла CAB, ∠BAD = 60°
ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

∠BAD = 60°, значит, ∠BAC = 60°/2 = 30° (т.к. AK - биссектриса).

∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°.

Так как AB = BC, треугольник ABC - равнобедренный, и ∠BCA = ∠BAC = 30°.

∠AKB = 180° - ∠ABK - ∠BAK = 180° - 120° - 30° = 30°.

Следовательно, треугольник ABK - равнобедренный, и AB = BK = 12 см.

Площадь ромба:

$$S = a^2 \cdot \sin α$$

$$S = 12^2 \cdot \sin 60°$$

$$S = 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$S = 72\sqrt{3}$$

Ответ: $$72\sqrt{3}$$