4.* В треугольнике АВС АВ = BC, ∠CAB = 30°, АЕ — биссектриса, ВЕ = 8 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны. Значит, ∠CAB = ∠BCA = 30°.

Угол ∠ABC = 180° - 30° - 30° = 120°.

AE - биссектриса угла CAB, следовательно, ∠BAE = ∠EAC = 30°/2 = 15°.

Рассмотрим треугольник ABE. ∠ABE = 120°, ∠BAE = 15°, следовательно, ∠AEB = 180° - 120° - 15° = 45°.

По теореме синусов для треугольника ABE:

$$\frac{BE}{\sin ∠BAE} = \frac{AB}{\sin ∠AEB}$$

$$AB = \frac{BE \cdot \sin ∠AEB}{\sin ∠BAE} = \frac{8 \cdot \sin 45°}{\sin 15°}$$

$$\sin 15° = \sin (45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

$$AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{16(\sqrt{12} + 2)}{4} = 4(2\sqrt{3} + 2) = 8(\sqrt{3} + 1)$$

Так как AB = BC, то BC = 8(√3 + 1).

Площадь треугольника ABC:

$$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin ∠ABC$$

$$S = \frac{1}{2} [8(\sqrt{3} + 1)]^2 \cdot \sin 120°$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot 64 (3 + 2\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$S = 32 (4 + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$S = 16 (4 + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 16 (4\sqrt{3} + 6) = 64\sqrt{3} + 96$$

$$S = 96 + 64\sqrt{3}$$

Ответ: $$96 + 64\sqrt{3}$$