5. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, АО = 10 см, ОС = 4 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 42 см.

5. Рассмотрим трапецию ABCD, где AD и BC - основания, O - точка пересечения диагоналей.

Треугольники BOC и AOD подобны (по двум углам: углы BOC и AOD равны как вертикальные, углы CBO и ADO равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{4}{10} = \frac{BC}{AD}$$ $$\frac{2}{5} = \frac{BC}{AD}$$

Выразим BC через AD:

$$BC = \frac{2}{5} AD$$

Известно, что BC + AD = 42. Подставим выражение для BC:

$$\frac{2}{5} AD + AD = 42$$ $$\frac{7}{5} AD = 42$$

Выразим AD:

$$AD = \frac{42 \cdot 5}{7} = 6 \cdot 5 = 30$$ см.

Найдем BC:

$$BC = 42 - AD = 42 - 30 = 12$$ см.

Ответ: AD = 30 см, BC = 12 см.