Через точку В, лежащую внутри окружности, проведена хорда, кото- рая делится точкой В на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите ради- ус окружности, если точка В удалена от её центра на 5 см.

Пусть хорда делится точкой В на отрезки $$AB = 8$$ см и $$BC = 12$$ см. Расстояние от точки В до центра окружности $$OB = 5$$ см. Пусть радиус окружности равен R. Продлим отрезок ОВ до пересечения с окружностью в точке D. Тогда BD = R - 5 и BE = R + 5. По свойству хорд, проходящих через точку В, имеем $$AB \cdot BC = DB \cdot BE$$, $$8 \cdot 12 = (R - 5)(R + 5)$$. Отсюда, $$96 = R^2 - 25$$, $$R^2 = 121$$, $$R = 11$$

Ответ: 11 см