В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВО : OD = 2:3, AC=25 см. Найдите отрезки АО и ОС.

Рассмотрим рисунок.

Дано: BO : OD = 2 : 3, AC = 25 см

Найти: AO, OC

Решение:

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Углы BOC и DOA равны как вертикальные. Углы OBC и ODA равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам.

Запишем отношение сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA}$$ $$\frac{2}{3} = \frac{CO}{OA}$$

Выразим ОА.

$$OA = \frac{3}{2} CO$$ $$AC = AO + OC$$ $$25 = \frac{3}{2} CO + CO$$ $$25 = \frac{5}{2} CO$$ $$CO = \frac{25 \cdot 2}{5} = 10 \text{ см}$$ $$AO = 25 - 10 = 15 \text{ см}$$

Ответ: AO = 15 см, OC = 10 см.