В трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников АРВ и CPD равны.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, диагонали которой пересекаются в точке P.

Площади треугольников ABC и DBC равны, так как у них общее основание BC и равные высоты (расстояние между параллельными прямыми AD и BC).

$$S_{ABC} = S_{DBC}$$

Треугольники ABC и DBC состоят из треугольников ABP и BPC, DCP и BPC соответственно.

$$S_{ABC} = S_{ABP} + S_{BPC}$$, $$S_{DBC} = S_{DCP} + S_{BPC}$$

Так как $$S_{ABC} = S_{DBC}$$, то

$$S_{ABP} + S_{BPC} = S_{DCP} + S_{BPC}$$

$$S_{ABP} = S_{DCP}$$

Следовательно, площади треугольников APB и CPD равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площади треугольников АРВ и CPD равны.