267 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.

В них:

• ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию);
• BD = B₁D₁ (по условию);
• ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы, а ∠B = ∠B₁).

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует, что AB = A₁B₁.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

В них:

• AB = A₁B₁ (доказано выше);
• ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию);
• ∠B = ∠B₁ (по условию).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам.

Ответ: Доказано