267 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆ А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁, где ∠A = ∠A₁ = 90°, BD и B₁D₁ - биссектрисы углов B и B₁ соответственно. ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Так как BD и B₁D₁ - биссектрисы, то ∠ABD = ∠CBD = ∠A₁B₁D₁ = ∠C₁B₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. ∠A = ∠A₁ = 90°, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, BD = B₁D₁.

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ следует, что AB = A₁B₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. ∠A = ∠A₁ = 90°, AB = A₁B₁, ∠B = ∠B₁.

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Ответ: Доказано.