67 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ — прямые, ВD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁, ∠А = ∠А₁ = 90°, BD и B₁D₁ - биссектрисы, ∠B = ∠B₁, BD = B₁D₁.

Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁: BD = B₁D₁ (по условию), ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы, а ∠B = ∠B₁).

Тогда треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу.

Следовательно, AB = A₁B₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁ (доказано выше), ∠A = ∠A₁ = 90°, ∠B = ∠B₁ (по условию).

Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: доказано.