267 В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁- прямые, BD и В₁D₁ - биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆ А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Шаг 1: Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.

В этих треугольниках:

• ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию)
• BD = B₁D₁ (по условию)
• ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы и ∠B = ∠B₁)

Шаг 2: Докажем равенство треугольников ABD и A₁B₁D₁.

Треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу (BD = B₁D₁ и ∠ABD = ∠A₁B₁D₁).

Из равенства треугольников следует, что AB = A₁B₁.

Шаг 3: Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

В этих треугольниках:

• AB = A₁B₁ (доказано выше)
• ∠A = ∠A₁ = 90° (по условию)
• ∠B = ∠B₁ (по условию)

Шаг 4: Докажем равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу (AB = A₁B₁ и ∠B = ∠B₁).

Что и требовалось доказать.