132 В треугольниках АВС и A1B1C1 AB = A₁B1, BC = B₁C1, ∠B = ∠B₁. На сторонах АВ и А₁В₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A1C1D1. Докажите, что ABCD = AB₁C1D1.

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1.

AB = A1B1 (по условию).

BC = B1C1 (по условию).

∠B = ∠B1 (по условию).

Тогда треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Следовательно, AC = A1C1 и ∠BAC = ∠B1A1C1 и ∠ACB = ∠A1C1B1.

∠BCD = ∠ACB - ∠ACD, ∠B1C1D1 = ∠A1C1B1 - ∠A1C1D1.

Так как ∠ACB = ∠A1C1B1, ∠ACD = ∠A1C1D1, то ∠BCD = ∠B1C1D1.

Рассмотрим треугольники BCD и B1C1D1.

BC = B1C1 (по условию).

∠B = ∠B1 (по условию).

∠BCD = ∠B1C1D1 (доказано выше).

Тогда треугольники BCD и B1C1D1 равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Следовательно, BD = B1D1.

Так как AB = A1B1, BD = B1D1, то AD = A1D1.

Рассмотрим треугольники ACD и A1C1D1.

AC = A1C1 (доказано выше).

AD = A1D1 (доказано выше).

∠ACD = ∠A1C1D1 (по условию).

Тогда треугольники ACD и A1C1D1 равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Следовательно, CD = C1D1.

В четырехугольниках ABCD и A1B1C1D1:

AB = A1B1 (по условию).

BC = B1C1 (по условию).

CD = C1D1 (доказано выше).

AD = A1D1 (доказано выше).

Тогда ABCD = AB1C1D1.

Что и требовалось доказать.