4.В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 75°, высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Дано: ∠A = 30°, ∠B = 75°, BD = 6 см - высота.

Найдем угол C: ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (30° + 75°) = 180° - 105° = 75°

Т.к. ∠B = ∠C = 75°, то треугольник ABC - равнобедренный, AB = AC

Площадь треугольника можно найти как $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$. Надо найти сторону AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём ∠A = 30°, BD = 6 см. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть BD = \frac{1}{2}AB, отсюда AB = 2BD = 2 \cdot 6 = 12 см

В равнобедренном треугольнике AB = AC = 12 см.

Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2$$

Ответ: 36 см²