2.4.17. В треугольнике ABC AC = 4, cosA = -0,8, cos C = 8/√73. Найдите площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma)\] где (a) и (b) – две стороны треугольника, а (\gamma) – угол между ними. В нашем случае нам известна сторона AC = 4 и углы A и C. Нужно найти сторону AB или BC, а также синус угла B. Сначала найдем \(\sin A\) и \(\sin C\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Для угла A: \[\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (-0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36\] \[\sin A = \sqrt{0.36} = 0.6\] Для угла C: \[\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (\frac{8}{\sqrt{73}})^2 = 1 - \frac{64}{73} = \frac{9}{73}\] \[\sin C = \sqrt{\frac{9}{73}} = \frac{3}{\sqrt{73}}\] Теперь найдем угол B: \(A + B + C = 180^\circ\), следовательно, \(B = 180^\circ - A - C\). Однако нам достаточно знать \(\sin B\). Используем теорему синусов: \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\] Отсюда \(\frac{AC}{\sin B} = 2R\), где (R) - радиус описанной окружности. Выразим \(\sin B\): \[\sin B = \frac{AC}{2R}\] Нам нужно найти сторону AB или BC, чтобы вычислить площадь. Давайте использовать формулу площади через две стороны и синус угла между ними. Например, (\frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin A\) или (\frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin C\). Чтобы найти стороны AB и BC, воспользуемся теоремой синусов: \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \implies AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B}\] \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \implies BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B}\] Теперь подставим найденные значения в формулу площади: \[S = \frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} AC \cdot \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4 \cdot \frac{3}{\sqrt{73}}}{\sin B} \cdot 0.6\] \[S = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4 \cdot 0.6}{\sin B} \cdot \frac{3}{\sqrt{73}}\] Чтобы найти \(\sin B\), воспользуемся формулой: \(\sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C\): \[\sin B = \sin(180 - (A+C)) = \sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C = 0.6 \cdot \frac{8}{\sqrt{73}} + (-0.8) \cdot \frac{3}{\sqrt{73}} = \frac{4.8 - 2.4}{\sqrt{73}} = \frac{2.4}{\sqrt{73}}\] Подставим \(\sin B\) в формулу для AB и BC. \[AB = \frac{4 \cdot \frac{3}{\sqrt{73}}}{\frac{2.4}{\sqrt{73}}} = \frac{12}{2.4} = 5\] Теперь можем вычислить площадь: \[S = \frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot 0.6 = 6\] Ответ: Площадь треугольника ABC равна 6.