1761. В треугольнике ABC AC = BC = 22, угол C равен 30°. Найдите высоту АН.

Треугольник АВС - равнобедренный. Опустим высоту из вершины В на сторону АС, получим высоту ВК. ВК также является медианой. Рассмотрим треугольник АВК, он прямоугольный. Высоту АН найдем по формуле:

$$AH = AB \cdot sin C$$

Найдем сторону АВ по теореме косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos C$$

$$AB^2 = 22^2 + 22^2 - 2 \cdot 22 \cdot 22 \cdot cos 30^\circ$$

$$AB^2 = 484 + 484 - 968 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$AB^2 = 968 - 484 \sqrt{3}$$

$$AB = \sqrt{968 - 484 \sqrt{3}} = 22\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

Подставим в формулу для высоты AH:

$$AH = 22\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot sin 30^\circ$$

$$AH = 22\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{1}{2}$$

$$AH = 11\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$.

Ответ: $$11\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$