1762. В треугольнике АВС АС = BC = 54, угол C равен 30°. Найдите высоту АН.

Треугольник АВС - равнобедренный. Опустим высоту из вершины В на сторону АС, получим высоту ВК. ВК также является медианой. Рассмотрим треугольник АВК, он прямоугольный. Высоту АН найдем по формуле:

$$AH = AB \cdot sin C$$

Найдем сторону АВ по теореме косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos C$$

$$AB^2 = 54^2 + 54^2 - 2 \cdot 54 \cdot 54 \cdot cos 30^\circ$$

$$AB^2 = 2916 + 2916 - 5832 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$AB^2 = 5832 - 2916 \sqrt{3}$$

$$AB = \sqrt{5832 - 2916 \sqrt{3}} = 54\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

Подставим в формулу для высоты AH:

$$AH = 54\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot sin 30^\circ$$

$$AH = 54\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{1}{2}$$

$$AH = 27\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$.

Ответ: $$27\sqrt{2-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$