25. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 41 : 40, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.

Пусть BH - высота, проведённая из вершины B, AL - биссектриса угла A, O - точка пересечения BH и AL. По условию, BO : OH = 41 : 40. Продолжим BH до пересечения с описанной окружностью в точке P. Т.к. AL - биссектриса, то дуги BL и LC равны, а значит, BL = LC. Рассмотрим треугольники BLO и CHO. \(\angle BLO = \angle CHO = 90^\circ\). \(\angle BOL = \angle HOC\) как вертикальные углы. Значит, треугольники BLO и CHO подобны. Из подобия следует, что \(\frac{BL}{HC} = \frac{BO}{OH} = \frac{41}{40}\). Т.к. BL = LC, то \(\frac{LC}{HC} = \frac{41}{40}\). Т.е. HC = \(\frac{40}{41}\) LC. Т.к. AL - биссектриса, то по свойству биссектрисы \(\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} = 1\), т.е. AB = AC. Значит, треугольник ABC равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота BH является медианой, т.е. AH = HC. Тогда AC = 2HC = 2 * \(\frac{40}{41}\) LC = \(\frac{80}{41}\) LC. По теореме синусов \(\frac{BC}{\sin A} = 2R\), где R - радиус описанной окружности. Т.к. AB = AC, то \(\angle B = \angle C\). Пусть \(\angle A = \alpha\), тогда \(\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\). Т.к. AL - биссектриса угла A, то \(\angle BAL = \frac{\alpha}{2}\). Тогда \(\sin A = \sin \alpha = \frac{BH}{AB}\). Т.к. BC = 18, то 2R = \(\frac{18}{\sin A}\). Мы знаем, что AB = AC = \(\frac{80}{41}\) LC, но это не поможет нам найти \(\sin A\). В равнобедренном треугольнике ABC высота BH является медианой, поэтому AH = HC = 9. Тогда AC = \(\frac{41}{40} \cdot 9\) => \(\frac{BC}{\sin A}=2R\) R = 41/40 * 9/(sin(A)). Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то BH - высота и медиана, тогда H - середина AC. Пусть HC = 41x, тогда HO = 40x, BO = 41x. OH = 40x, тогда BH = BO + OH = 41x + 40x = 81x. \(\frac{BO}{OH} = \frac{41}{40}\). Т.к. CO - биссектриса, то \(\frac{AH}{AO} = \frac{CH}{CO}\) Пусть AB=AC=a, BC=18 . AH=9 , CH=9 . Тогда R=\frac{9 cdot 9 cdot a}{\sqrt{(a+18)(a-18)(2a)^2}} R=\frac{9 cdot 9 cdot a}{4a \cdot\sqrt{a^2-18^2}} R = 41/40 * 9. Ответ: 41.