12. В треугольнике ABC BM - медиана и BH - высота. Известно, что AC=84 и BC=BM. Найдите AH.

Так как BM - медиана, то AM = MC = AC / 2 = 84 / 2 = 42. Поскольку BC = BM, треугольник BCM - равнобедренный, следовательно, углы при основании MC равны: $$\angle C = \angle BMC$$. Так как BH - высота, треугольник BHC - прямоугольный, следовательно, $$\angle CBH = 90 - \angle C$$. В треугольнике ABM медиана BM равна половине стороны AC, к которой она проведена. Значит, AM = BM = MC, а это значит, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B (медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы). Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный, и $$\angle ABC = 90^\circ$$. Т.к. BH - высота, опущенная на гипотенузу AC, то AH = AB*cos(A). Т.к. BM=MC, то $$\angle MBC=\angle C$$. $$\angle ABM=90-\angle MBC = 90 - \angle C= \angle CBH$$. Поскольку BM = MC, $$\angle MBC = \angle C$$. Так как $$\angle BAC + \angle ACB = 90^\circ$$, то $$\angle BAC = 90^\circ - \angle ACB$$. Пусть $$\angle ACB = x$$, тогда $$\angle BAC = 90 - x$$. В прямоугольном треугольнике BHC: $$\angle CBH = 90 - x$$. В прямоугольном треугольнике ABH: $$\angle ABH = 90 - (90 - x) = x$$. Тогда $$\angle MBH = \angle MBC - \angle HBC = x - (90 - x) = 2x - 90$$. AM = MC = BM = 42 $$\angle ABM = \angle BAM = 90 - x$$ $$\angle CBM = \angle BCM = x$$ $$\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM$$ $$90 = 90 - x + x$$ Так как BC = BM, то MС = BM = 42. Так как $$\angle BCM = \angle CBM$$, BH - высота, значит, BH - медиана, тогда HC = MH. MC = MH + HC = 2HC = 42, следовательно, HC = 21. AH = AC - HC = 84 - 21 = 63. Ответ: 63