19. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 90, sin A = $$\frac{2}{3}$$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, и CH - высота, опущенная на гипотенузу AB, имеем: $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{BC}{90} = \frac{2}{3}$$ $$BC = \frac{2 \cdot 90}{3} = 60$$ По теореме Пифагора для треугольника ABC: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 90^2 - 60^2 = 8100 - 3600 = 4500$$ $$AC = \sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$$ Из прямоугольного треугольника AHC: $$\cos A = \frac{AH}{AC}$$ $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$ $$\cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$AH = AC \cdot \cos A = 30\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 10 \cdot 5 = 50$$ **Ответ: 50**