В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12, tg A = 2√10/3. Найдите AB.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ AC = 12 \]
• \[ \operatorname{tg} A = \frac{2\sqrt{10}}{3} \]

Найти:

• \[ AB \]

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
• \[ \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \]
2. Подставим известные значения:
• \[ \frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{BC}{12} \]
3. Выразим BC:
• \[ BC = \frac{2\sqrt{10}}{3} \times 12 \]
• \[ BC = 2\sqrt{10} \times 4 \]
• \[ BC = 8\sqrt{10} \]
4. Теперь найдем гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:
• \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
• \[ AB^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2 \]
• \[ AB^2 = 144 + 64 \times 10 \]
• \[ AB^2 = 144 + 640 \]
• \[ AB^2 = 784 \]
• \[ AB = \sqrt{784} \]
• \[ AB = 28 \]

Ответ: 28