В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5, AC = 9. Найдите AB.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \sin A = \frac{4}{5} \]
• \[ AC = 9 \]

Найти:

• \[ AB \]

Решение:

1. Для начала найдем косинус угла A, используя основное тригонометрическое тождество:
• \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]
• \[ (\frac{4}{5})^2 + \cos^2 A = 1 \]
• \[ \frac{16}{25} + \cos^2 A = 1 \]
• \[ \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} \]
• \[ \cos^2 A = \frac{25 - 16}{25} \]
• \[ \cos^2 A = \frac{9}{25} \]
• Поскольку A - острый угол в прямоугольном треугольнике, cos A > 0:
• \[ \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]
2. Теперь используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике:
• \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]
3. Подставим известные значения:
• \[ \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} \]
4. Выразим AB:
• \[ AB = \frac{9 \times 5}{3} \]
• \[ AB = \frac{45}{3} \]
• \[ AB = 15 \]

Ответ: 15