В треугольнике АВС АС = BC, AB = 18, tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}. Найдите длину стороны АС.

В треугольнике ABC AC = BC, значит, треугольник равнобедренный. Высота, проведенная из вершины C, является также медианой и биссектрисой. Обозначим высоту, проведенную из вершины C, как CH. Тогда AH = HB = \(\frac{1}{2}\) AB = 9. В прямоугольном треугольнике ACH: \(tg A = \frac{CH}{AH} = \frac{\sqrt{7}}{3}\) \(\frac{CH}{9} = \frac{\sqrt{7}}{3}\)

Показать пошаговые вычисления

\begin{aligned} CH &= 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} \\ CH &= 3\sqrt{7} \end{aligned}

По теореме Пифагора для треугольника ACH: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\) \(AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2\)

Показать пошаговые вычисления

\begin{aligned} AC^2 &= 81 + 9 \cdot 7 \\ AC^2 &= 81 + 63 \\ AC^2 &= 144 \\ AC &= \sqrt{144} \\ AC &= 12 \end{aligned}

Ответ: 12

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденное значение AC соответствует условию задачи и тангенсу угла A.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Всегда ищи дополнительные свойства фигур (равнобедренность, прямоугольность), чтобы упростить решение.