7*. В треугольнике АВС АВ = ВС. На медиане ВЕ отмечена точка М. а на сторонах АВ и ВС точки РИК соответственно. (Точки Р. М и К не лежат на одной прямой) Известно, что ∠BMP = ∠BMK. Докажите, что А) углы ВРМ и ВКМ равны; Б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны

7. Дано: ΔABC, AB = BC, BE – медиана, M ∈ BE, P ∈ AB, K ∈ BC, ∠BMP = ∠BMK.

Доказать:

А) ∠BPM = ∠BKM;

Б) PK ⊥ BM.

Доказательство:

Т.к. AB = BC, то ΔABC – равнобедренный. Т.к. BE – медиана, то BE – высота и биссектриса.

Т.к. ∠BMP = ∠BMK, то BM – биссектриса угла РМК, значит, ΔPMK – равнобедренный, МР = МК.

Рассмотрим треугольники BPM и BKM. В них ВМ – общая сторона, ВР = ВК (т.к. BE – биссектриса и высота), МР = МК (из ΔPMK), значит, ΔBPM = ΔBKM – по трем сторонам, следовательно, ∠BPM = ∠BKM.

PK ⊥ BM.

Ответ: Доказано, что А) ∠BPM = ∠BKM, Б) PK ⊥ BM.