5. В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90 градусов, ∠B = 30 градусов. На катете ВС отметили точку 1 такую, что ZADC = 60 градусов. Найдите катет ВС, если CD = 5 cm.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\), D лежит на BC, \(\angle ADC = 60^\circ\), CD = 5 см.

Найти: BC.

Решение:

1. В \(\triangle ADC\) \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle ADC = 60^\circ\), следовательно, \(\angle DAC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
2. В \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\), следовательно, \(\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
3. \(\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\).

Рассмотрим \(\triangle ADC\). Так как \(\angle DAC = 30^\circ\), то катет CD, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы AD, то есть

$$AD = 2 ines CD = 2 ines 5 = 10\text{ см}$$.

В \(\triangle ADC\) по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AD^2 - CD^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$$ $$AC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ см}$$.

В \(\triangle ABC\) против угла \(30^\circ\) лежит катет AC, следовательно, гипотенуза AB равна удвоенному катету AC, то есть

$$AB = 2AC = 2 \tines 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ см}$$.

По теореме Пифагора в \(\triangle ABC\):

$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = (10\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{3})^2 = 300 - 75 = 225$$ $$BC = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$.

Ответ: BC = 15 см.