42. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 6. Площадь треугольника АВС равна 12√7. Найдите длину стороны АВ.

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, BM = 6 - медиана, $$S = 12\sqrt{7}$$. Необходимо найти длину стороны AB.

Т.к. AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Медиана, проведенная к основанию, является высотой. Тогда угол BMA = 90 градусов.

$$S = \frac{1}{2} * AC * BM$$

$$12\sqrt{7} = \frac{1}{2} * AC * 6$$

$$12\sqrt{7} = 3 * AC$$

$$AC = \frac{12\sqrt{7}}{3} = 4\sqrt{7}$$

Тогда AM = MC = AC/2 = $$2\sqrt{7}$$

В прямоугольном треугольнике ABM: AB - гипотенуза, AM и BM - катеты.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

$$AB^2 = (2\sqrt{7})^2 + 6^2$$

$$AB^2 = 4 * 7 + 36$$

$$AB^2 = 28 + 36$$

$$AB^2 = 64$$

$$AB = \sqrt{64} = 8$$

Ответ: 8