В треугольнике АВС известно, что AC = 14,∠B = 60°, ∠C = 75°. Найдите сторону ABC, R

Найдем угол A: ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 75° = 45°.

Применим теорему синусов: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$.

Выразим AB: $$AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{14 \cdot \sin 75°}{\sin 60°} = \frac{14 \cdot \sin (45°+30°)}{\sin 60°} = \frac{14 \cdot (\sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°)}{\sin 60°} = \frac{14 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14 \cdot (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sqrt{3}}{3} = \frac{7(\sqrt{18}+\sqrt{6})}{3} = \frac{7(3\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3} = 7\sqrt{2} + \frac{7\sqrt{6}}{3}$$.

Радиус описанной окружности $$R = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{14}{2\sin 60°} = \frac{14}{2\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$AB = 7\sqrt{2} + \frac{7\sqrt{6}}{3}$$, $$R = \frac{14\sqrt{3}}{3}$$