В треугольнике АВС известно, что BC = 10, ∠A = 45°, ∠B = 30°. Найдите сторону АС., Р.

Применим теорему синусов:$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$.

Выразим AC: $$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A}$$.

Подставим известные значения: $$AC = \frac{10 \cdot \sin 30°}{\sin 45°} = \frac{10 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$.

Найдем радиус описанной окружности: $$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{10}{2\sin 45°} = \frac{10}{2\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$.

Ответ: $$AC = 5\sqrt{2}$$, $$R = 5\sqrt{2}$$