25. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 7 и АС = 21, точка о — центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВН, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке F. Найдите CF.

Решение:

1. Пусть О - центр окружности, описанной около треугольника ABC, BH ⊥ AO, F - точка пересечения BH и AC. Нужно найти CF.
2. Треугольник ABO равнобедренный (AO = BO = R), BH ⊥ AO, значит, AF = OF.
3. AF = OF, следовательно, OF - средняя линия треугольника BHC.
4. OF || BC, следовательно, AO ⊥ BC.
5. Треугольник AOC равнобедренный (AO = CO = R), AO - высота, следовательно, AO - медиана и AC = BC = 21.
6. Треугольник ABC равнобедренный (AB = 7, AC = BC = 21) .
7. Опустим высоту из вершины B на сторону AC. BH является одновременно и медианой, значит AH = HC = AC/2 = 21/2 = 10,5.
8. Угол BHA = углу BFO = 90 градусов, угол BAC - общий, следовательно треугольники BHA и BFO подобны. Из подобия следует, что BF/BH = FO/HA = BO/BA.
9. Пусть CF = x, тогда AF = AC - CF = 21 - x.
10. Из условия BH ⊥ AO следует, что треугольник ABF прямоугольный. BF - биссектриса прямого угла, значит угол CBF = углу ABF.
11. Угол ABF = углу AFB, а значит, треугольник ABF - равнобедренный. Значит AB = AF.
12. 7 = 21 - x.
13. х = 21 - 7 = 14.

Ответ: 14