25. В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК: КМ = 6:7. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК.

Решение: Пусть ВК = 6x, КМ = 7x. Тогда ВМ = ВК + КМ = 6x + 7x = 13x. Так как ВМ - медиана, то AM = MC. Применим теорему Менелая к треугольнику ВМС и прямой АК. \frac{BK}{KM} * \frac{MA}{AC} * \frac{CP}{PB} = 1 \frac{6x}{7x} * \frac{MA}{2*MA} * \frac{CP}{PB} = 1 \frac{6}{7} * \frac{1}{2} * \frac{CP}{PB} = 1 \frac{3}{7} * \frac{CP}{PB} = 1 \frac{CP}{PB} = \frac{7}{3} Тогда PB = \frac{3}{7} CP BC = BP + CP = \frac{3}{7} CP + CP = \frac{10}{7} CP Тогда \frac{PB}{BC} = \frac{\frac{3}{7} CP}{\frac{10}{7} CP} = \frac{3}{10} Отношение площадей треугольников ВКР и ABC, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований BP и BC: \frac{S_{BKP}}{S_{ABC}} = \frac{BP}{BC} = \frac{3}{10} Площадь треугольника АВК. Отношение площадей треугольников АВК и АВМ, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований ВК и ВМ: \frac{S_{ABK}}{S_{ABM}} = \frac{BK}{BM} = \frac{6x}{13x} = \frac{6}{13} Медиана делит треугольник на два равновеликих: S(ABM)=1/2 S(ABC) Тогда отношение площади треугольника АВК к площади треугольника ABC равно: S(ABK)= S(ABM) * 6/13 = 1/2 *S(ABC) * 6/13 = 3/13*S(ABC) S(ABC) = 13/3 * S(ABK) \frac{S_{BKP}}{S_{ABK}} = \frac{\frac{3}{10}*S_{ABC}}{S_{ABK}} = \frac{\frac{3}{10} * \frac{13}{3}*S_{ABK}}{S_{ABK}} = \frac{13}{10} = 1.3 Ответ: 13/10