11. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=53° и ВМ=АМ=МС.

Пошаговое решение:

• Так как BM = AM = MC, то точка M является центром описанной окружности около треугольника ABC, а BM - радиус этой окружности.
• Угол C опирается на дугу AB. Угол BMA - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, следовательно, ∠BMA = 2 * ∠C = 2 * 53° = 106°.
• Треугольник BMA равнобедренный (BM = AM), следовательно углы при основании равны: ∠A = ∠MBA = (180° - ∠BMA) / 2 = (180° - 106°) / 2 = 74° / 2 = 37°.

Ответ: 37°