5 Диагональ АС ромба ABCD равна 6, a tg∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 2.4

1. Пусть сторона ромба равна a, а половина диагонали AC (то есть OC) равна 3.
2. Т.к. tg∠BCA = 4/3, то \(\frac{BO}{OC} = \frac{4}{3}\), следовательно, BO = 4 (т.к. OC = 3).
3. По теореме Пифагора для треугольника BOC: \(a^2 = BO^2 + OC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\), значит, a = 5.
4. Площадь ромба S = a \(\cdot\) h, где h - высота ромба. Также площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S = \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\).
5. Отсюда высота ромба h = \(\frac{S}{a} = \frac{24}{5} = 4.8\).
6. Радиус вписанной окружности в ромб равен половине его высоты: r = \(\frac{h}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4\).

Ответ: 2.4