5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 4, sin A = 3√34 34 . Найдите BC.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 4\), \(sin A = \frac{3\sqrt{34}}{34}\)

Найти: BC

Решение:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть:

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{34}}{34}\]

Выразим AB через BC:

\[AB = \frac{34BC}{3\sqrt{34}}\]

По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставим известные значения и выражение для AB:

\[(\frac{34BC}{3\sqrt{34}})^2 = 4^2 + BC^2\] \[\frac{34^2BC^2}{9 \cdot 34} = 16 + BC^2\] \[\frac{34BC^2}{9} = 16 + BC^2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[\frac{34}{9}BC^2 - BC^2 = 16\] \[\frac{25}{9}BC^2 = 16\]

Найдем \(BC^2\):

\[BC^2 = \frac{16 \cdot 9}{25} = \frac{144}{25}\]

Значит, \(BC = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5} = 2.4\)

Ответ: 2.4

Проверка за 10 секунд: Синус угла меньше 1, катет меньше гипотенузы. \(AC = 4\), значит, \(BC < AB\). Ответ 2.4 выглядит правдоподобно.

Уровень эксперт: Будь внимателен при работе с дробями и радикалами, легко ошибиться!