4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 4, sinA = √5 5 . Найдите ВС.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 4\), \(sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

Найти: BC

Решение:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть:

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]

Выразим AB через BC:

\[AB = \frac{5BC}{\sqrt{5}}\]

По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставим известные значения и выражение для AB:

\[(\frac{5BC}{\sqrt{5}})^2 = 4^2 + BC^2\] \[\frac{25BC^2}{5} = 16 + BC^2\] \[5BC^2 = 16 + BC^2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[5BC^2 - BC^2 = 16\] \[4BC^2 = 16\]

Найдем \(BC^2\):

\[BC^2 = \frac{16}{4} = 4\]

Значит, \(BC = \sqrt{4} = 2\)

Ответ: 2

Проверка за 10 секунд: Синус угла меньше 1, катет меньше гипотенузы. \(AC = 4\), значит, \(BC < AB\). Ответ 2 выглядит правдоподобно.

Читерский прием: Всегда проверяй, что синус угла меньше 1. Если больше — где-то ошибка!