3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 17, sinA = 2√5 5 . Найдите BC.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 17\), \(sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Найти: BC

Решение:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть:

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Выразим AB через BC:

\[AB = \frac{5BC}{2\sqrt{5}}\]

По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставим известные значения и выражение для AB:

\[(\frac{5BC}{2\sqrt{5}})^2 = 17^2 + BC^2\] \[\frac{25BC^2}{20} = 289 + BC^2\] \[\frac{5}{4}BC^2 = 289 + BC^2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[\frac{5}{4}BC^2 - BC^2 = 289\] \[\frac{1}{4}BC^2 = 289\]

Найдем \(BC^2\):

\[BC^2 = 289 \cdot 4 = 1156\]

Значит, \(BC = \sqrt{1156} = 34\)

Ответ: 34

Проверка за 10 секунд: Синус угла меньше 1, катет меньше гипотенузы. Значит, BC может быть больше AC. Ответ 34 выглядит правдоподобно.

Запомни: Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.