6. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA = 0,4, AC = 3√21. Найдите АВ.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(sin A = 0.4\), \(AC = 3\sqrt{21}\)

Найти: AB

Решение:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть:

\[sin A = \frac{BC}{AB} = 0.4 = \frac{2}{5}\]

Выразим BC через AB:

\[BC = \frac{2}{5}AB\]

По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставим известные значения и выражение для BC:

\[AB^2 = (3\sqrt{21})^2 + (\frac{2}{5}AB)^2\] \[AB^2 = 9 \cdot 21 + \frac{4}{25}AB^2\] \[AB^2 = 189 + \frac{4}{25}AB^2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[AB^2 - \frac{4}{25}AB^2 = 189\] \[\frac{21}{25}AB^2 = 189\]

Найдем \(AB^2\):

\[AB^2 = \frac{189 \cdot 25}{21} = 9 \cdot 25 = 225\]

Значит, \(AB = \sqrt{225} = 15\)

Ответ: 15

Проверка за 10 секунд: Синус угла меньше 1, катет меньше гипотенузы. \(AC = 3\sqrt{21} \approx 13.75\), значит, \(AB > AC\). Ответ 15 выглядит правдоподобно.

Запомни: Не забывай возводить в квадрат все элементы, когда работаешь с теоремой Пифагора!