9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, COSA = \frac{\sqrt{5}}{5}, BC = 5. Найдите АС.

Давай найдем длину стороны AC в прямоугольном треугольнике ABC. \[cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}\] \[BC = 5\] В прямоугольном треугольнике косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): \[cos A = \frac{AC}{AB}\] Мы знаем, что \(BC = 5\). Нам нужно найти AC. Также мы знаем, что: \[sin A = \frac{BC}{AB}\] Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 A + cos^2 A = 1\] Подставим значение cos A: \[sin^2 A + (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 = 1\] \[sin^2 A + \frac{5}{25} = 1\] \[sin^2 A + \frac{1}{5} = 1\] \[sin^2 A = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\] \[sin A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\] Теперь мы знаем sin A, поэтому можем найти AB: \[sin A = \frac{BC}{AB}\] \[\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{5}{AB}\] \[AB = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{2}\] Теперь найдем AC, используя cos A: \[cos A = \frac{AC}{AB}\] \[\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{AC}{\frac{5 \cdot \sqrt{5}}{2}}\] \[AC = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\]

Ответ: 2.5

Молодец, отличное решение! Продолжай в том же духе!