28. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA = \frac{\sqrt{5}}{5}, BC = 5. Найдите АС.

Пошаговое решение:

• Определим косинус угла A: \[ cosA = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
• Найдем синус угла A, зная, что \( sin^2 A + cos^2 A = 1 \): \[ sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{5}{25} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \] \[ sinA = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
• Определим гипотенузу AB, используя синус угла A и катет BC: \[ sinA = \frac{BC}{AB} \] \[ AB = \frac{BC}{sinA} = \frac{5}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{25}{2\sqrt{5}} = \frac{25\sqrt{5}}{10} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \]
• Определим катет AC, используя косинус угла A и гипотенузу AB: \[ cosA = \frac{AC}{AB} \] \[ AC = AB \cdot cosA = \frac{5\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{25}{10} = 2.5 \]

Ответ: 2.5