15. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Так как ВМ - медиана, AM = MC = AC / 2 = 216 / 2 = 108. Тогда AH = AC - HC = 216 - 54 = 162. В прямоугольном треугольнике BHC: \(BH = HC * tg(40°)\). В прямоугольном треугольнике ABH: \(AH = BH * ctg(∠BAH)\). Значит, \(∠BAH = ctg^{-1}(AH/BH) = ctg^{-1}(AH/(HC * tg(40°)) = ctg^{-1}(162/(54*tg(40°)) = ctg^{-1}(3/tg(40°))\). Так как \(∠BAC = ∠BAH + 90°\), то \(∠BAC = ctg^{-1}(3/tg(40°)) + 90°\). В треугольнике АВС: \(∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - (ctg^{-1}(3/tg(40°)) + 90°) - 40°\). Дальнейшее решение затруднительно без числовых значений углов. Но можно предположить, что угол \(∠BCA\) внешний для треугольника BMA. Тогда, \(∠BCA = ∠ABM + ∠AMB\). Предположительно, ответ 40 градусов, но требуется проверка.