4. В треугольнике АВС высота BD делит сторону АС на отрезки AD = 5 см и CD = 4 см. Известно, что ∠ABD = ∠CBD. Найдите сторону АВ.

1. Рассмотрим треугольник АВС. ВD - биссектриса и высота, следовательно, треугольник АВС - равнобедренный, АВ = ВС.

2. Рассмотрим треугольник АВD - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

3. Рассмотрим треугольник CBD - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = CD^2 + BD^2$$

4. Так как АВ = ВС, то

$$AD^2 + BD^2 = CD^2 + BD^2$$

5. Отсюда:

$$AD^2 = CD^2$$

6. Но AD = 5 см, CD = 4 см. Это противоречие говорит о том, что в условии задачи есть ошибка.

Если предположить, что ∠BAD = ∠BCD, то треугольник АВС - равнобедренный, АВ = ВС.

7. Тогда АD = СD = 5 см. (или 4 см)

8. Рассмотрим треугольник АВD - прямоугольный. ВD - высота и биссектриса, следовательно, треугольник АВD - равнобедренный, АD = ВD = 5 см.

9. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

$$AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

$$AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$$

Ответ: $$5\sqrt{2} \text{ см}$$