10.В треугольнике MNP MN = 10 см, МР = 8 см, NP =6 см. Найти площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне МN.

Для нахождения площади треугольника, воспользуемся формулой Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

В данном случае: a = 10 см, b = 8 см, c = 6 см

$$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 8 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$$

$$S = \sqrt{12(12-10)(12-8)(12-6)} = \sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6} = \sqrt{576} = 24 \text{ см}^2$$

Теперь найдем высоту PK, проведенную к стороне MN. Площадь треугольника также можно выразить как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

$$S = \frac{1}{2} a h$$

В данном случае: S = 24 см², a = 10 см, h = PK

$$24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot PK$$

$$24 = 5 \cdot PK$$

$$PK = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ см}$$

Ответ: Площадь = 24 см², Высота PK = 4.8 см