В выпуклом многоугольнике имеется четыре угла с градусной мерой 120° каждый, остальные углы острые. Найдите число сторон этого многоугольника.

Пусть в многоугольнике n сторон. Четыре угла равны по 120°, а остальные углы острые (то есть меньше 90°). Сумма углов выпуклого n-угольника равна $$(n-2) \cdot 180^\circ$$. Пусть остальные $$n-4$$ угла имеют градусную меру $$x_1, x_2, ..., x_{n-4}$$, где $$x_i < 90$$ для всех i.
Тогда сумма всех углов многоугольника равна $$4 \cdot 120 + x_1 + x_2 + ... + x_{n-4} = 480 + \sum_{i=1}^{n-4} x_i$$.
Получаем уравнение: $$(n-2) \cdot 180 = 480 + \sum_{i=1}^{n-4} x_i$$.
Так как каждый $$x_i < 90$$, то $$\sum_{i=1}^{n-4} x_i < 90(n-4)$$.
$$(n-2) \cdot 180 < 480 + 90(n-4)$$.
$$180n - 360 < 480 + 90n - 360$$.
$$180n - 90n < 480$$.
$$90n < 480$$.
$$n < \frac{480}{90} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$$.
Так как n - целое число, то $$n \le 5$$. С другой стороны, у нас есть 4 угла по 120 градусов, значит, сторон должно быть не меньше 4, то есть $$n \ge 4$$.
Если n = 5, то сумма углов равна $$(5-2) \cdot 180 = 3 \cdot 180 = 540$$. Сумма четырех углов по 120 градусов равна 480. Значит, последний угол равен $$540 - 480 = 60$$, что меньше 90, то есть он острый. Таким образом, пятиугольник с четырьмя углами по 120 градусов и одним острым углом существует.
Ответ: 5