В1. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любые две из трёх прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, лежат в одной плоскости.

Обозначим три прямые через l₁, l₂, l₃: они соединяют середины пар отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC соответственно.

Пусть радиус-векторы точек A, B, C, D равны a, b, c, d. Для середины отрезка с концами X и Y радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов концов. Поэтому середины противоположных рёбер имеют координатные векторы:

E = (a + b)/2, F = (c + d)/2; G = (a + c)/2, H = (b + d)/2; I = (a + d)/2, J = (b + c)/2.

Векторы направлений соответствующих прямых пропорциональны:

EF: c + d − a − b; GH: b + d − a − c; IJ: b + c − a − d.

Для любых двух из этих прямых их направления и вектор, соединяющий выбранные на них точки, лежат в двумерном линейном пространстве, натянутом на два направления. Следовательно, две прямые либо параллельны, либо пересекаются, а значит, лежат в одной плоскости. (Если прямые совпадают, вывод также очевиден.)

Что и требовалось доказать.