В1. Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.

Обозначим середины отрезков AB, CD, AC, BD, AD, BC соответственно через E, F, G, H, I, J. Пусть O — середина пространственной диагонали AC.

В треугольнике ABC отрезок GJ соединяет середины AC и BC, поэтому GJ ∥ AB и GJ = AB / 2. В треугольнике ABD отрезок IH соединяет середины AD и BD, поэтому IH ∥ AB и IH = AB / 2. Четырёхугольник GJHI — параллелограмм; его диагонали GH и IJ пересекаются и делятся пополам.

Кроме того, в треугольнике ACD отрезок IF соединяет середины AD и CD, а в треугольнике BCD отрезок JF соединяет середины BC и CD. Оба отрезка параллельны диагоналям AC и BD соответственно и равны их половинам. Для краткого общего аргумента введём векторы: пусть радиус-векторы точек A, B, C, D равны a, b, c, d. Тогда середины противоположных рёбер каждой пары имеют радиус-векторы:

E = (a + b)/2, F = (c + d)/2; G = (a + c)/2, H = (b + d)/2; I = (a + d)/2, J = (b + c)/2.

Середина EF, середина GH и середина IJ во всех случаях имеет один и тот же радиус-вектор (a + b + c + d)/4. Значит, прямые EF, GH и IJ проходят через одну точку — точку с этим радиус-вектором.

Что и требовалось доказать.