В1. Осевое сечение цилиндра есть квадрат, диагональ которого равна 6√2 см. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра. (2 балла)

Дано:

• Цилиндр.
• Осевое сечение - квадрат.
• Диагональ квадрата (d): 6√2 см.

Найти:

• Площадь полной поверхности цилиндра (S_полн).

Решение:

1. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( S_{бок} \) - площадь боковой поверхности.
2. Найдем сторону квадрата (a): В квадрате диагональ связана со стороной соотношением \( d = a\sqrt{2} \).

\[ 6\sqrt{2} \text{ см} = a\sqrt{2} \]

\[ a = 6 \text{ см} \]

3. Определим радиус основания (r) и высоту (h) цилиндра: Поскольку осевое сечение - квадрат, то сторона квадрата равна высоте цилиндра, а также диаметру основания.

Высота цилиндра (h) = сторона квадрата (a) = 6 см.

Диаметр основания (D) = сторона квадрата (a) = 6 см.

Радиус основания (r) = D/2 = 6 см / 2 = 3 см.

4. Найдем площадь основания (S_осн): Основание цилиндра - круг.

\[ S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2 \]

5. Найдем площадь боковой поверхности (S_бок): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

\[ S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 36\pi \text{ см}^2 \]

6. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра:

\[ S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9\pi \text{ см}^2 + 36\pi \text{ см}^2 = 18\pi \text{ см}^2 + 36\pi \text{ см}^2 = 54\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: \(54\pi\) см²