В2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. (2 балла)

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Боковое ребро (l): 12 см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α): 60°.

Найти:

• Объём пирамиды (V).

Решение:

1. Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.
2. Найдем площадь основания (S_осн): Основание - квадрат. Пусть сторона основания равна 'a'.
3. Найдем высоту пирамиды (h): В правильной четырёхугольной пирамиде высота опускается в центр основания (точка пересечения диагоналей). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (l), высотой пирамиды (h) и отрезком от центра основания до вершины основания (половина диагонали квадрата, обозначим как d/2).
4. Связь между углами и сторонами в этом треугольнике: Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α) равен 60°. Следовательно, \( rac{h}{l} = an(\alpha) \).

\[ \frac{h}{12 \text{ см}} = an(60^{\circ}) \]

\[ \frac{h}{12 \text{ см}} = \sqrt{3} \]

\[ h = 12\sqrt{3} \text{ см} \]

5. Найдем диагональ основания (d): Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (l), половиной диагонали (d/2) и высотой (h). Связь: \( rac{d/2}{l} = an(\alpha) \) (неверно, это для другого треугольника). Правильная связь: \( rac{d}{2} \) - катет, \( h \) - катет, \( l \) - гипотенуза.

У нас есть \(h\) и \(l\). Найдем \(d/2\) по теореме Пифагора: \( h^2 + (d/2)^2 = l^2 \) (это неверно, \(l\) - гипотенуза, \(h\) и \(d/2\) - катеты). Мы уже нашли \(h\) и знаем \(l\), поэтому можем найти \(d/2\):

\[ (d/2)^2 = l^2 - h^2 \]

\[ (d/2)^2 = (12 \text{ см})^2 - (12\sqrt{3} \text{ см})^2 \]

\[ (d/2)^2 = 144 \text{ см}^2 - (144 \cdot 3) \text{ см}^2 \]

\[ (d/2)^2 = 144 \text{ см}^2 - 432 \text{ см}^2 \]

Ошибка в понимании условия. Угол 60° дан между боковым ребром и плоскостью основания.

Пересмотрим шаг 4:

Рассмотрим прямоугольный треугольник: гипотенуза - боковое ребро (l = 12 см), катет - высота пирамиды (h), другой катет - проекция бокового ребра на основание (от центра до вершины квадрата, т.е. d/2).

Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α = 60°) - это угол между гипотенузой (l) и катетом (d/2).

\[ rac{h}{l} = an(60^{\circ}) \text{ - это неправильно. Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между l и d/2.} \]

Правильное соотношение: \( rac{h}{d/2} = an(60^{\circ}) \) (неверно, это угол между боковым ребром и диагональю).

Правильный подход:

В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром (l), высотой (h) и проекцией бокового ребра на основание (d/2):

\[ rac{h}{l} = rac{h}{12} = an(60^{\circ}) = \sqrt{3} \text{ - неверно.} \]

Угол между боковым ребром (l) и плоскостью основания - это угол между l и d/2.

\[ rac{h}{l} = ext{sin}(60^{\circ}) \text{ - неверно.} \]

Рассмотрим треугольник: Боковое ребро (гипотенуза), высота (катет), половина диагонали основания (катет). Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и его проекцией на основание (половиной диагонали). То есть, угол между l и d/2 равен 60°.

\[ rac{h}{d/2} = an(60^{\circ}) \text{ - это угол между боковым ребром и плоскостью основания? Нет.} \]

Вот правильный треугольник:

• Гипотенуза: боковое ребро l = 12 см.
• Катет: высота пирамиды h.
• Катет: половина диагонали основания d/2.
• Угол между боковым ребром (l) и плоскостью основания - это угол между l и d/2. Следовательно, угол между l и d/2 равен 60°.

Теперь используем тригонометрию:

\[ rac{h}{l} = an(60^{\circ}) \text{ - Это угол между плоскостью боковой грани и основанием.} \]

Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между гипотенузой (l) и катетом (d/2). Значит:

\[ rac{h}{l} = an(60^{\circ}) ext{ - это не так.} \]

Correct approach:

In the right triangle formed by the lateral edge (l), the height (h), and half the diagonal of the base (d/2), the angle between the lateral edge and the base plane is the angle between l and d/2.

Thus, we have:

\[ rac{h}{l} = an(60^{\circ}) ext{ is wrong.} \]

\[ rac{h}{l} = ext{sin}(60^{\circ}) ext{ - not correct.} \]

\[ rac{d/2}{l} = ext{cos}(60^{\circ}) \]

\[ rac{d/2}{12 \text{ см}} = \frac{1}{2} \]

\[ d/2 = 6 \text{ см} \]

Теперь найдем высоту h:

\[ h^2 + (d/2)^2 = l^2 \]

\[ h^2 + (6 \text{ см})^2 = (12 \text{ см})^2 \]

\[ h^2 + 36 \text{ см}^2 = 144 \text{ см}^2 \]

\[ h^2 = 144 - 36 = 108 \text{ см}^2 \]

\[ h = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

6. Найдем диагональ основания (d):

\[ d = 2 \cdot (d/2) = 2 \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

7. Найдем сторону основания (a): Диагональ квадрата связана со стороной: \( d = a\sqrt{2} \).

\[ 12 \text{ см} = a\sqrt{2} \]

\[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} \]

8. Найдем площадь основания (S_осн):

\[ S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2} \text{ см})^2 = 36 \cdot 2 \text{ см}^2 = 72 \text{ см}^2 \]

9. Вычислим объём пирамиды (V):

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 72 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} = 24 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} = 144\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: \(144\sqrt{3}\) см³